벡터(Vector), 스칼라(Scalar)

티스토리 앱에서는 수식이 깨져서 보입니다.!

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벡터(Vector), 스칼라(Scalar)

벡터(vector) : 크기와 방향
스칼라(Scalar) : 크기
쉽게 생각하면 속력과 속도로 비교할수있다.
벡터는 속도 스칼라는 속력이라고 했을때
자동차가 100km/h 속력으로 달리고 있다  = 스칼라 
자동차가 북쪽 방향으로 100km/h 속도로 달리고 있다 = 벡터
벡터는 크기와 방향을 가지고 스칼라는 크기만 가진 아이이다.

벡터(Vector)

기하학적으로 벡터는 방향을 가진 선분(화살표)로 표현한다.

$\vec{\mathbf{A}}$

벡터의 속성은 '크기', '방향' 이다.
'위치'는 벡터의 속성이 아니다!!!!

다른 위치에 있더라도 동일한 길이와 방향을 가리키는 벡터들은 동일한 벡터이다.

아래 사진은 (2,3) 2차원 벡터

점B에서 A로 향하는 벡터는

$\vec{\mathbf{BA}}$ B(꼬리), A(머리) 쪽이다.

 2차원 벡터는

$\mathbf{A} = (A_{x}, A_{y})$

3차원 벡터는

$\mathbf{A} = (A_{x}, A_{y}, A_{z})$

벡터의 크기

벡터의 크기는 방향을 가진 선분의 길이이다.

벡터의 크기를 구하는 식은 아래와 같다.

$|\mathbf{A}| = \sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2} + A_{z}^{2} }$

(3,4,5)짜리 3차원 벡터가 있을때 벡터의 크기는
벡터의 크기 = (3*3) + (4*4) + (5*5)
$5\sqrt{2} = \sqrt{25 * 2} = \sqrt{50}$ = 9 + 16 + 25

그럼 이 벡터는 x(3), y(4), z(5)의 방향과 $5\sqrt{2}$ 크기를 가진 벡터이다.

보통 방향 벡터는 단위 벡터로 표현하는데.

단위 벡터란 벡터를 정규화 시킨것이다.

벡터의 정규화

벡터의 크기를 1로 만들어 단위 벡터가 되도록 하는 것이다.

벡터의 크기로 x,y,z 각 성분을 나누어주면 정규화가 된다.

정규화 수식은 $\hat{\mathbf{A}} = \frac{\mathbf{A}}{|\mathbf{A}|}= (\frac{A_{x}}{|\mathbf{A}|}, \frac{A_{y}}{|\mathbf{A}|}, \frac{A_{z}}{|\mathbf{A}|})$ 과 같다.

아까의 3차원 벡터인 (3,4,5)를 정규화 시켜보면

$\hat{\mathbf{A}} = \frac{\mathbf{A}}{5\sqrt{2}} = (\frac{3}{5\sqrt{2}}, \frac{4}{5\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$이 된다.

스칼라

벡터가 크기와 방향이 있다면

스칼라는 크기만 있는 물리량 그저 숫자이다.

벡터와 스칼라 연산

v라는 벡터와 S라는 스칼라값이 있을때
스칼라는 벡터와 곱셈 연산을 통해 벡터의 크기를 조정하는데 사용된다.
$S\mathbf{v} = (Sv_x, Sv_y, Sv_z)$ 모든 성분에 같은 값을 곱해주기에
$S > 0$이면 방향에는 영향이 없지만 $S < 0$ 이면 v벡터의 방향이 뒤집힌다.

만약 S에다가 -1을 대입하면?? v의 역벡터가 된다.
$-\mathbf{v} = (-v_x, -v_y, -v_z)$